Головна
Українська Радянська Енциклопедія
Енциклопедичний словник-довідник з туризму
Юридична енциклопедія - Шемшученко Ю.С.
 
Головна arrow Українська Радянська Енциклопедія arrow поліо-поляк arrow ПОЛЯ ТЕОРІЯ
   

ПОЛЯ ТЕОРІЯ

— математична теорія, яка вивчає властивості скалярних, векторних і тензорних полів, тобто областей простору (або площини), кожній точці яких поставлені у відповідність число (скаляр; напр., т-ра, тиск, густина), вектор (напр., напруженість електр. чи магн. поля), тензор (напр., мех. напруження в твердому тілі). Осн. апаратом П. т. є векторний аналіз (див. Векторне числення) і тензорний аналіз. Поля, які не змінюються з часом, наз. стаціонарними. Скалярне стаціонарне поле задають однією числовою функцією координат (х, у, z) точки простору: φ = φ (х, у, z). Напрям найшвидшого зростання скалярного поля визначається градієнтом. Векторне поле описують векторною функцією А (х, у, z) = Ахі + Aui + Azk, де Ах, Аy, Аz — проекції вектора А на координатні осі, і, j, k — одиничні вектори, напрямлені по координатних осях. Стаціонарне векторне поле можна зобразити за допомогою ліній, дотичні до яких у кожній точці мають напрям вектора поля в даній точці (напр., силові лінії електр. або магн. поля). Зміну векторного

поля в околі деякої точки М (х, у, z) описують скаляром div А, який наз. дивергенцією (розходженням), та вектором rot А, який наз. ротором (вихром, див. Вихор векторного поля). Дивергенція характеризує зміну інтенсивності (густини) поля, а ротор є векторною характеристикою "обертальної складової" поля (його "скручування"). Якщо поле з векторною функцією А є полем швидкостей частинок в усталеному потоці нестисливої рідини, то div А в точці М означає інтенсивність джерела (div А > 0) чи стоку (div А < 0) у цій точці або відсутність їх

(div А = 0). Поле, в усіх точках якого дивергенція дорівнює нулю,

наз. соленоїдальним, або трубчастим. Якщо А характеризує швидкість руху рідини, що заповнює деякий простір, то в точках

простору, де rot А ≠ 0, відбувається обертальний рух частинок рідини. Поле, в усіх точках якого ротор дорівнює нулеві, наз. потенціальним. Важливими характеристиками векторних полів є потік поля через поверхню, який визначається інтегралом по поверхні від скалярного добутку вектора поля на одиничний вектор нормалі до поверхні, та циркуляція поля по замкнутому контуру — інтеграл по контуру від скалярного добутку вектора поля на одиничний вектор дотичної до контура. Зв'язок потоку з дивергенцією описується Остроградського формулою, а циркуляції з ротором — Стокса формулою. Скалярні, векторні й тензорні поля, якими описують фіз. явища, задовольняють, як правило, певним диференціальним рівнянням, що виражають математично відповідні закони природи. Див. Поля фізичні. Літ. див. до ст. Векторне числення, Тензорний аналіз.

 

Схожі за змістом слова та фрази