— математична теорія, яка вивчає властивості скалярних, векторних і тензорних полів, тобто областей простору (або площини), кожній точці яких поставлені у відповідність число (скаляр; напр., т-ра, тиск, густина), вектор (напр., напруженість електр. чи магн. поля), тензор (напр., мех. напруження в твердому тілі). Осн. апаратом П. т. є векторний аналіз (див. Векторне числення) і тензорний аналіз. Поля, які не змінюються з часом, наз. стаціонарними. Скалярне стаціонарне поле задають однією числовою функцією координат (х, у, z) точки простору: φ = φ (х, у, z). Напрям найшвидшого зростання скалярного поля визначається градієнтом. Векторне поле описують векторною функцією А (х, у, z) = Ахі + Aui + Azk, де Ах, Аy, Аz — проекції вектора А на координатні осі, і, j, k — одиничні вектори, напрямлені по координатних осях. Стаціонарне векторне поле можна зобразити за допомогою ліній, дотичні до яких у кожній точці мають напрям вектора поля в даній точці (напр., силові лінії електр. або магн. поля). Зміну векторного
поля в околі деякої точки М (х, у, z) описують скаляром div А, який наз. дивергенцією (розходженням), та вектором rot А, який наз. ротором (вихром, див. Вихор векторного поля). Дивергенція характеризує зміну інтенсивності (густини) поля, а ротор є векторною характеристикою "обертальної складової" поля (його "скручування"). Якщо поле з векторною функцією А є полем швидкостей частинок в усталеному потоці нестисливої рідини, то div А в точці М означає інтенсивність джерела (div А > 0) чи стоку (div А < 0) у цій точці або відсутність їх
(div А = 0). Поле, в усіх точках якого дивергенція дорівнює нулю,
наз. соленоїдальним, або трубчастим. Якщо А характеризує швидкість руху рідини, що заповнює деякий простір, то в точках
простору, де rot А ≠ 0, відбувається обертальний рух частинок рідини. Поле, в усіх точках якого ротор дорівнює нулеві, наз. потенціальним. Важливими характеристиками векторних полів є потік поля через поверхню, який визначається інтегралом по поверхні від скалярного добутку вектора поля на одиничний вектор нормалі до поверхні, та циркуляція поля по замкнутому контуру — інтеграл по контуру від скалярного добутку вектора поля на одиничний вектор дотичної до контура. Зв'язок потоку з дивергенцією описується Остроградського формулою, а циркуляції з ротором — Стокса формулою. Скалярні, векторні й тензорні поля, якими описують фіз. явища, задовольняють, як правило, певним диференціальним рівнянням, що виражають математично відповідні закони природи. Див. Поля фізичні. Літ. див. до ст. Векторне числення, Тензорний аналіз.
