Головна
Українська Радянська Енциклопедія
Енциклопедичний словник-довідник з туризму
Юридична енциклопедія - Шемшученко Ю.С.
 
Головна arrow Українська Радянська Енциклопедія arrow подор-полін arrow ПОЛЕ
   

ПОЛЕ

алгебраїчне — асоціативне і комутативне кільце, в якому для довільних а ≠ 0 і b знайдеться єдиний елемент х (частка b/а) такий, що а ∙ х = b. П., елементами яких є числа, наз. числовими. Числовими П. є, напр., множини (див. Множин теорія) всіх раціональних чисел, усіх дійсних чисел, усіх комплексних чисел (з природними операціями додавання і множення). Є П., які містять лише скінченне число елементів. Найпростішим прикладом такого П. є множина двох елементів α і β, додавання і множення яких визначаються рівностями: α + а = β + β = α, α + β = β + α = β; α ∙ α= α ∙ β = β ∙ α=α, β ∙ β = β. Якщо частина А деякого А. В сама є П. відносно тих самих операцій додавання і множення, то А наз. підполем В, а В — над-полем, або розширенням А до В. її., які не мають підполів, наз. простими. Прикладом простого П. є множина всіх раціональних чисел. Коли Р — числове П. і число а ≠ Р, то мінім. числове П., яке містить Р і а, наз. розширенням Р, утвореним приєднанням а, і позначається через Р (α). Число а наз. алгебраїчним відносно Р, якщо воно є коренем рівняння а0хn + a1xn-l + ... + аn-1 х + аn = 0 з коефіцієнтами аi ? Р. В цьому випадку Р(α) наз. простим алгебраїчним розширенням П. Р. Напр., якщо Р — поле раціональних чисел, то множина всіх чисел виду а + b √2, де а, b ? Р, збігається з розширенням Р (√2). П. S наз. алгебраїчним розширенням П. Р, якщо воно одержується приєднанням до Р скінченного числа елементів а1, а2, …, аm, алгебраїчних відносно Р. Серед алгебр. розширень S даного П. Р існують макс. алгебр. розширення Т, тобто такі, які не допускають дальшого алгебр. розширення. Вони характеризуються властивістю: кожний многочлен з коеф. з S розкладається на лінійні множники з коеф. з Т.

Літ.: Завало С. Т., Костарчук В. Н., Хацет Б. И. Алгебра и теория чисел, ч. 1—2. К., 1977—80; Ван дер Вардев Б. Л. Алгебра. Пер. с нем. М., 1976.

В. С. Чарін.

 

Схожі за змістом слова та фрази