Головна
Українська Радянська Енциклопедія
Енциклопедичний словник-довідник з туризму
Юридична енциклопедія - Шемшученко Ю.С.
 
Головна arrow Українська Радянська Енциклопедія arrow міщ-молд arrow МНОЖИН ТЕОРІЯ
   

МНОЖИН ТЕОРІЯ

— розділ математики, в якому вивчаються властивості множин незалежно від природи їхніх складових елементів. Поняття "множина" — одне з початкових фундаментальних ма-тем. понять, які не можна виразити через інші, простіші початкові поняття. Інтуїтивно воно розуміється як певна сукупність (зібрання, колекція) деяких об'єктів, що в М. т. наз. елементами. Множини мають застосування в кожному розділі математики, напр., в арифметиці і матем. аналізі — множини чисел (натуральних, дійсних) і функцій (дійсної і комплексної змінної), в геометрії — множини точок, прямих, геом. фігур і т. п. Виходячи з цього, в сучас. математиці поширилась теор.- множинна концепція будови будь-якої матем. теорії. Згідно з цією концепцією, кожна матем. теорія має справу з однією або кількома множинами об'єктів, пов'язаних між собою деякими відношеннями. Всі властивості цих об'єктів і відношень виражаються за допомогою аксіом. Теорія вважається строго логічно побудованою, якщо при її розвитку не використовуються ніякі, раніше не описані аксіомами, властивості і відношення, а всі нові об'єкти чи відношення, що вводяться з розвитком теорії, визначаються через ці первісні. М. т. заснована Г. Кантором і як окрема матем. теорія існує з кінця 70-х рр. 19 ст. Завдяки зручності й універсальності понять М. т. стала фундаментом, на якому були побудовані такі розділи математики, як теорія функцій дійсної змінної, заг. топологія, заг. алгебра тощо. Роль М. т. в сучас. математиці характеризується тим, що в ній відносно до множин сформульовано ряд заг. положень (які стосуються простих операцій над множинами, відображень множин, їхньої класифікації тощо), що відіграють важливу роль в абстрактних розділах сучас. математики. Розглянемо деякі найпростіші теоретико-мно-жинні поняття.

Нехай кожний елемент множини А є елементом множини В. Тоді кажуть, що А — підмножина множини В (А ∩ В). Очевидно, що кожна множина є своєю підмножиною і порожня множина (?) є підмножиною будь-якої множини. Над множинами можна виконувати операції об'єднання, перетину, віднімання (різниця множин) та ін. Об'єднанням множин А і В (А U В) наз. множина, що містить всі елементи, які належать хоча б одній з множин А чи В (мал., а). Перетином множин А і В (А ∩ В) наз. множина, що містить всі елементи, які належать і множині А, і множині В (мал., б). Різницею множин А і В (А В) наз. множина, що містить усі елементи множини А, які не належать множині В (мал., в). Коли В U А, то А В наз. доповненням множини В (до множини А). Операції об'єднання і перетину можна узагальнити на нескінченне число множин. Поняття відображення множин об'єднує в собі в абстрактній формі такі матем. поняття, як поняття функції (дійсної чи комплексної змінної), геом. поняття перетворення фігур та ін. Кажуть, що φ: А → В є відображенням множини А у множину В, якщо кожному елементу множини А ставиться у відповідність один і тільки один елемент множини В [якщо елементу а ставиться у відповідність елемент b, то це записують у вигляді φ (а) = b]. Відображення ф наз. взаємно-однозначним, якщо для будь-яких а1 ≠ а2 має місце φ (а,) ≠ φ (а2) і для всякого Ь знайдеться таке а, що φ (а) = b. На базі взаємно однозначних відображень будується поняття потужність множини. Вони ж лежать в основі поняття ізоморфізму в математиці. Теорія операцій над множинами, їх відображень, упорядкувань тощо — це т. з. загальна теорія множин.

Дослідження понять ефективної визначеності матем. об'єктів і розв'язності матем. проблем вивчає дескриптивна М. т., а строге вивчення поняття множини на основі аксіоматичного методу і побудову відповідних формальних теорій, вільних від суперечностей,— аксіоматична М. т. Дослідження двох останніх розділів М. т. тісно пов'язані з дослідженнями в галузі основ математики.

Літ.: Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977; Хаусдорф Ф. Теория множеств. Пер. с нем. М,—Л., 1937; Лузин Н. Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях. Пер. с франц. М., 1953; Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. Пер. с англ. М., 1966; Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. Пер. с англ. М., 1970.

М. I. Кратко.

Множин теорія - leksika.com.ua

 

Схожі за змістом слова та фрази