Головна
Українська Радянська Енциклопедія
Енциклопедичний словник-довідник з туризму
Юридична енциклопедія - Шемшученко Ю.С.
 
Головна arrow Українська Радянська Енциклопедія arrow коч-краснос arrow КРАЙОВІ ЗАДАЧІ
   

КРАЙОВІ ЗАДАЧІ

— задачі (головним чином теорії диференціальних рівнянь), в яких з множини розв'язків рівняння в даній області виділяється розв'язок, який задовольняє наперед задані умови на границі (краю) цієї області (т. з. крайові умови). Напр., множина всіх розв'язків рівняння u" (х) = 1 (х ? [0, 1]) має вигляд u (х) = х2/2 + С1х + С2, де С1, С2 — довільні сталі. Крайові умови (к. у.) u (0) = 0, u (1) = 1 виділяють один розв'язок u (х) = х2/2 + х/2. К. з. мають особливо велике значення для рівнянь математичної фізики з частинними похідними. Залежно від типу такого рівняння для існування розв'язку К. з. накладаються к. у. того чи ін. вигляду: 1) для рівн. ∆u = д2u/дх2 + д2u/ду2 = f (х, у) в обмеженій області G з границею Г к. у. u (х, у) = 0 ((х, у) Є Г); 2) для рівняння дu/дt = д2u/дх2 + f (х,t) в прямокутнику х Є [а, b], t Є [0, T] к. у. u (а, t = u (b, t) = u (х, 0) = 0 (t Є [0, Т], х Є [а, b]); 3) для рівняння д2u/дt2 = д2u/дх2 + f (х, t) в тому ж прямокутнику — к. у. u (а, t) = u (b, t) = u (х, 0) = (дu/дt) (х, 0) = 0 (t Є [0, Т], х Є [а, b]). К. з., аналогічні задачам 1—3, ставляться відповідно для еліптичних, параболічних і гіперболічних рівнянь. У правих частинах цих к. у. можуть стояти не нулі, а деякі задані функції. Напр., у задачі Діріхле знаходиться розв'язок рівн. ∆u = 0 ((х, у) Є Г), який задовольняє к. у. u (х, у) = φ (x, y) ((x, y) Є Г), де φ — задана функція; узадачі Неймана остання умова замінюється на (дu/дn) (х, у) = φ (х, у) (x, у) Є Г, дu/дn — похідна по нормалі до Г). До К. з. можна віднести і задачу Коші, яка у випадку хвильового рівняння д2u/дt2 = д2u/дх2 полягає в знаходженні його розв'язку в півплощині t Є [0, ∞), x Є (—∞, ∞),який задовольняє умови u (х, 0) = φ (x), (дu/дt) (х, 0) = Ψ (х) (х Є (—∞, ∞), φ і Ψ — задані функції). Знаходження допустимих для даного рівняння к. у. є важливою задачею теорії рівнянь з частинними похідними. Літ. див. до ст. Диференціальні рівняння.

Ю. М. Бережанський.